представь бесконечную сетку с квадратными ячейками со стороной 1. рёбра этой сетки - резисторы номиналом 1 ом. какое будет сопротивление между узлами с коордиентами (0, 1) и (2, 0)?

---

Хорошо, мне нужно найти сопротивление между узлами (0,1) и (2,0) на бесконечной сетке резисторов по 1 Ом каждый. Я слышал, что для таких задач используют метод симметрии или зеркальных зарядов, но не уверен, как именно это применить. Давайте попробуем разобраться.

Сначала вспомню, что в бесконечной сетке сопротивление между соседними узлами (например, (0,0) и (1,0)) известно и равно 1/2 Ом. Но тут узлы не соседние. Расстояние между ними: по горизонтали 2, по вертикали 1, так что это диагональ прямоугольника 2x1. Наверное, нужно как-то использовать суперпозицию токов или потенциалов.

Может, стоит представить, что в узел (0,1) втекает ток I, а из узла (2,0) он вытекает. Тогда сопротивление будет напряжение между этими узлами делить на ток I. Надо найти разность потенциалов между этими точками при таком токе.

Для бесконечной сетки можно использовать метод фурье-преобразований или функции Грина. Но я не уверен, как это делать. Возможно, есть способ проще.

Вспомнил про метод симметрии. Если бы узлы были симметричны относительно какой-то оси, можно было бы упростить задачу. Но здесь узлы (0,1) и (2,0) не симметричны относительно осей координат. Возможно, нужно применить преобразование координат или разложить задачу на составляющие.

Еще один подход: использовать принцип суперпозиции. Допустим, мы подаем ток +I в узел (0,1) и -I в узел (2,0). Тогда сопротивление R = V/I, где V — разность потенциалов между этими узлами.

Потенциал в точке (x,y) при токе I, втекающем в (0,1), можно записать как V1(x,y) = I * G(x,y;0,1), где G — функция Грина для сетки. Аналогично, потенциал от вытекающего тока -I в (2,0) будет V2(x,y) = -I * G(x,y;2,0). Общий потенциал V(x,y) = V1 + V2 = I [G(x,y;0,1) - G(x,y;2,0)]. Тогда разность потенциалов между (0,1) и (2,0) будет V(0,1) - V(2,0) = I [G(0,1;0,1) - G(0,1;2,0) - G(2,0;0,1) + G(2,0;2,0)]. Но G(a;b) = G(b;a) из-за симметрии, поэтому V(0,1) - V(2,0) = I [G(0,1;0,1) - 2G(0,1;2,0) + G(2,0;2,0)]. Сопротивление R = [G(0,1;0,1) - 2G(0,1;2,0) + G(2,0;2,0)].

Но как найти функцию Грина для бесконечной сетки? Я помню, что функция Грина для двумерной сетки может быть выражена через интегралы или суммы. Например, в интегральной форме:

G(x,y; x0,y0) = (1/(4π²)) ∫_{-π}^{π} ∫_{-π}^{π} [cos(kx) + cos(ky) + 1]^{-1} e^{i k_x (x-x0) + i k_y (y-y0)} dk_x dk_y

Но вычисление таких интегралов сложное. Возможно, есть другой способ.

Посмотрю, может, есть известные значения сопротивлений для различных расстояний. Например, сопротивление между (0,0) и (m,n) в бесконечной сетке. Формула для этого, кажется, включает в себя интегралы или двойные суммы:

R(m,n) = (1/π) ∫_{0}^{π} [1 - cos(m k_x + n k_y)] / [2 - cos(k_x) - cos(k_y)] dk_x dk_y

Но конкретные значения для малых m и n, возможно, можно вычислить аналитически.

В нашем случае m=2, n=-1 (между (0,1) и (2,0) разница по x=2, по y=-1). Тогда R = (1/π) ∫_{0}^{π} ∫_{0}^{π} [1 - cos(2k_x - k_y)] / [2 - cos(k_x) - cos(k_y)] dk_x dk_y

Не уверен, как это интегрировать. Может, использовать замену переменных или симметрию.

Или посмотреть, есть ли уже известные результаты. Например, сопротивление между (0,0) и (1,1) равно 2/π Ом. А между (0,0) и (2,0) — (4/π - 1)/2 ≈ 0.773 Ом. Но это не точно помню.

Другой подход: разложение в ряд или использование рекуррентных соотношений. Но не уверен.

Может, использовать метод зеркальных изображений. Если мы вводим ток в (0,1) и выводим из (2,0), можно представить, что это эквивалентно двум точечным источникам в бесконечной сетке. Тогда потенциал в любой точке будет суммой потенциалов от этих двух источников.

Но как связать это с сопротивлением? Нужно найти разность потенциалов между этими точками при таком распределении токов.

Возможно, стоит использовать закон суперпозиции. Рассмотрим два случая:

1. Ток I втекает в (0,1), а бесконечность служит стоком.

2. Ток I вытекает из (2,0), а бесконечность служит источником.

Тогда потенциалы в этих случаях можно найти и сложить.

Но как найти потенциал в точке при токе, втекающем в бесконечную сетку?

Известно, что потенциал V(r) на расстоянии r от точечного источника в бесконечной сетке ведет себя как V(r) ≈ (I / (2π)) * ln(r) + константа, но это приближение для больших r. Но точное выражение сложное.

Возможно, использовать разность потенциалов между двумя точками при наличии источника и стока. Тогда сопротивление R = (V(0,1) - V(2,0)) / I.

Но как вычислить эту разность?

Поищу в памяти: есть формула для сопротивления между двумя точками (a,b) и (c,d) на бесконечной сетке:

R = (1/(2π)) * ∫_{-π}^{π} ∫_{-π}^{π} [1 - cos((c-a)k_x + (d-b)k_y)] / [2 - cos(k_x) - cos(k_y)] dk_x dk_y

В нашем случае (a,b)=(0,1), (c,d)=(2,0), так что разности Δx=2, Δy=-1. Тогда:

R = (1/(2π²)) ∫_{-π}^{π} ∫_{-π}^{π} [1 - cos(2k_x - k_y)] / [2 - cos(k_x) - cos(k_y)] dk_x dk_y

Этот интеграл, наверное, можно преобразовать. Возможно, перейти к полярным координатам или использовать симметрию.

Попробуем сделать замену переменных. Пусть u = k_x, v = k_y. Тогда интеграл:

∫_{-π}^{π} ∫_{-π}^{π} [1 - cos(2u - v)] / [2 - cos(u) - cos(v)] du dv

Может, разложить числитель:

1 - cos(2u - v) = 2 sin²(u - v/2)

Но не уверен, поможет ли это. Или использовать формулу косинуса разности:

cos(2u - v) = cos(2u)cos(v) + sin(2u)sin(v)

Тогда числитель: 1 - cos(2u)cos(v) - sin(2u)sin(v)

Но знаменатель: 2 - cos(u) - cos(v)

Не очевидно, как упростить.

Может, попробовать вычислить интеграл численно. Но это сложно без вычислений. Однако для конкретных значений Δx и Δy, возможно, есть аналитическое решение.

Проверю, может, есть симметрия в интеграле. Если сделать замену переменных, например, u' = u, v' = 2u - v. Тогда v = 2u - v'. Но не уверен, поможет ли это.

Или рассмотреть интеграл по u и v как двумерный и попытаться свести к одномерному с помощью замены.

Другой подход: использовать тот факт, что сопротивление между двумя точками можно выразить через сумму по всем путям между ними, но это тоже сложно.

Может, обратиться к литературе. Вспомнил, что в статье Cserti (2000) приведен общий метод расчета сопротивления в бесконечных сетках. Согласно этой статье, сопротивление между точками (0,0) и (m,n) дается формулой:

R(m,n) = (1/(2π)) ∫_{0}^{π} [1 - cos(m k_x + n k_y)] / [D(k_x,k_y)] dk_x dk_y,

где D(k_x,k_y) = 2 - cos(k_x) - cos(k_y).

Но в нашем случае m=2, n=-1. Тогда:

R = (1/(2π²)) ∫_{0}^{π} ∫_{0}^{π} [1 - cos(2k_x - k_y)] / [2 - cos(k_x) - cos(k_y)] dk_x dk_y

Возможно, этот интеграл можно вычислить, используя симметрию или замену переменных.

Попробуем сделать замену переменных: пусть a = k_x, b = k_y. Тогда интеграл становится:

∫_{0}^{π} ∫_{0}^{π} [1 - cos(2a - b)] / [2 - cos(a) - cos(b)] da db

Попробуем заменить переменную b на c = 2a - b. Тогда b = 2a - c, db = -dc. Пределы интегрирования: при a от 0 до π, и исходно b от 0 до π. При замене c = 2a - b, когда b=0, c=2a, а когда b=π, c=2a - π. Но это усложняет пределы интегрирования. Возможно, это не лучшая замена.

Другой вариант: замена переменных u = a, v = 2a - b. Тогда b = 2u - v. Якобиан замены: |∂(a,b)/∂(u,v)| = |1 0; 2 -1| = |-1| = 1. Пределы интегрирования: a (u) от 0 до π, v = 2u - b. При b от 0 до π, v = 2u - π до 2u. Но тогда область интегрирования становится сложной. Возможно, это не упростит интеграл.

Может, попробовать разбить интеграл на две части или использовать тригонометрические тождества.

Числитель: 1 - cos(2a - b) = 2 sin²(a - b/2)

Знаменатель: 2 - cos(a) - cos(b) = 2 - 2 cos((a+b)/2) cos((a-b)/2) = 2(1 - cos((a+b)/2) cos((a-b)/2))

Не уверен, полезно ли это.

Еще одна идея: использовать тождество 1 - cos(θ) = 2 sin²(θ/2). Тогда числитель: 2 sin²((2a - b)/2)

Знаменатель: 2 - cos(a) - cos(b) = 2 - 2 cos((a+b)/2) cos((a - b)/2) = 2[1 - cos((a+b)/2) cos((a - b)/2)]

Тогда интеграл становится:

∫_{0}^{π} ∫_{0}^{π} [2 sin²((2a - b)/2)] / [2(1 - cos((a+b)/2) cos((a - b)/2))] da db

Упрощаем:

∫_{0}^{π} ∫_{0}^{π} [sin²((2a - b)/2)] / [1 - cos((a+b)/2) cos((a - b)/2)] da db

Это все еще сложно, но, может, можно как-то преобразовать аргументы.

Обозначим:

θ1 = (a + b)/2

θ2 = (a - b)/2

Тогда a = θ1 + θ2

b = θ1 - θ2

Якобиан замены переменных:

|∂(a,b)/∂(θ1,θ2)| = |1 1; 1 -1| = |-1 -1| = 2

Тогда интеграл преобразуется в:

∫∫ [sin²((2(θ1 + θ2) - (θ1 - θ2))/2)] / [1 - cos(θ1) cos(θ2)] * 2 dθ1 dθ2

Упростим аргумент синуса:

(2θ1 + 2θ2 - θ1 + θ2)/2 = (θ1 + 3θ2)/2

Тогда числитель: sin²((θ1 + 3θ2)/2)

Интеграл становится:

2 ∫∫ [sin²((θ1 + 3θ2)/2)] / [1 - cos(θ1) cos(θ2)] dθ1 dθ2

Но пределы интегрирования теперь: исходно a и b от 0 до π. При замене θ1 = (a + b)/2, θ2 = (a - b)/2. Тогда при a и b от 0 до π, θ1 от 0 до π, θ2 от -π/2 до π/2. Но так как a >= b или a < b, то θ2 может быть от -π/2 до π/2. Но интеграл симметричен относительно замены θ2 на -θ2, поэтому можно удвоить интеграл по θ2 от 0 до π/2 и учесть симметрию.

Но все равно это кажется сложным. Может, есть другой способ.

Попробую найти конкретные значения. Например, известное сопротивление между (0,0) и (1,0): 1/2 Ом. Между (0,0) и (1,1): 2/π ≈ 0.6366 Ом. Между (0,0) и (2,0): (4/π - 1)/2 ≈ (1.2732 - 1)/2 ≈ 0.1366 Ом? Нет, это не кажется правильным. Возможно, я ошибаюсь.

На самом деле, сопротивление между (0,0) и (2,0) на бесконечной сетке можно найти с помощью метода изображений или рекуррентных соотношений. Но я не помню точной формулы.

Другой способ: использовать тот факт, что сопротивление между (0,1) и (2,0) можно представить как сумму сопротивлений по горизонтали и вертикали, но с учетом того, что пути через разные резисторы влияют друг на друга из-за бесконечности сетки.

Возможно, нужно разложить движение на два шага по горизонтали и один шаг вниз по вертикали, но как это формализовать?

Или использовать метод эквивалентных преобразований. Например, выделить часть сетки вокруг интересующих узлов и попытаться свернуть резисторы, но в бесконечной сетке это сложно.

Вернусь к интегралу. Попробую вычислить его численно, хотя бы приблизительно. Но без калькулятора сложно. Может, есть симметрия или интеграл сводится к известным константам.

Интеграл R = (1/(2π²)) ∫∫ [1 - cos(2k_x - k_y)] / [2 - cos(k_x) - cos(k_y)] dk_x dk_y

Можно попробовать сделать замену переменных, например, u = k_x, v = k_y - k_x. Тогда 2k_x - k_y = 2k_x - (v + k_x) = k_x - v. Но не уверен.

Или разбить интеграл на две части: по k_x и k_y. Сначала интегрировать по k_y, затем по k_x.

Рассмотрим интеграл по k_y:

∫_{-π}^{π} [1 - cos(2k_x - k_y)] / [2 - cos(k_x) - cos(k_y)] dk_y

Сделаем замену переменной: t = k_y, тогда выражение становится:

∫_{-π}^{π} [1 - cos(2k_x - t)] / [2 - cos(k_x) - cos(t)] dt

Этот интеграл, возможно, можно вычислить с помощью теории вычетов или использовать табличные интегралы.

Вспомним интеграл вида ∫_{0}^{π} [1 - cos(a - t)] / [b - cos(t)] dt

Но у нас пределы от -π до π, и в знаменателе 2 - cos(k_x) - cos(t) = (2 - cos(k_x)) - cos(t). Обозначим C = 2 - cos(k_x), тогда знаменатель: C - cos(t)

Числитель: 1 - cos(2k_x - t) = 1 - cos(2k_x)cos(t) - sin(2k_x)sin(t)

Тогда интеграл:

∫_{-π}^{π} [1 - cos(2k_x)cos(t) - sin(2k_x)sin(t)] / [C - cos(t)] dt

Это можно разбить на три интеграла:

∫_{-π}^{π} [1 / (C - cos(t))] dt - cos(2k_x) ∫_{-π}^{π} [cos(t) / (C - cos(t))] dt - sin(2k_x) ∫_{-π}^{π} [sin(t) / (C - cos(t))] dt

Третий интеграл, содержащий sin(t), будет равен нулю, так как подынтегральная функция нечетная относительно t=0.

Первый интеграл: ∫_{-π}^{π} [1 / (C - cos(t))] dt = 2π / sqrt(C² - 1)

Это стандартный интеграл, который равен 2π / sqrt(C² - 1) при C > 1.

В нашем случае C = 2 - cos(k_x). Поскольку cos(k_x) ∈ [-1,1], то C ∈ [1,3]. Поэтому sqrt(C² - 1) = sqrt((2 - cos(k_x))² - 1) = sqrt(4 -4cos(k_x) + cos²(k_x) -1) = sqrt(3 -4cos(k_x) + cos²(k_x)).

Второй интеграл: ∫_{-π}^{π} [cos(t) / (C - cos(t))] dt = ∫_{-π}^{π} [ (C - (C - cos(t)) ) / (C - cos(t)) ] dt = ∫_{-π}^{π} [ C/(C - cos(t)) - 1 ] dt = C * [2π / sqrt(C² -1)] - 2π

Таким образом, первый интеграл: 2π / sqrt(C² -1)

Второй интеграл: C * 2π / sqrt(C² -1) - 2π

Третий интеграл: 0

Тогда исходный интеграл по k_y:

[2π / sqrt(C² -1)] - cos(2k_x) [C * 2π / sqrt(C² -1) - 2π]

= 2π / sqrt(C² -1) - 2π cos(2k_x) [ C / sqrt(C² -1) - 1 ]

Подставим C = 2 - cos(k_x):

= 2π / sqrt((2 - cos(k_x))² -1) - 2π cos(2k_x) [ (2 - cos(k_x)) / sqrt((2 - cos(k_x))² -1) - 1 ]

Теперь подставим это выражение в интеграл по k_x:

R = (1/(2π²)) * ∫_{-π}^{π} [ вышеполученное выражение ] dk_x

Это выглядит очень сложным, но, возможно, можно упростить.

Раскроем скобки:

R = (1/(2π²)) * [ ∫_{-π}^{π} 2π / sqrt((2 - cos(k_x))² -1) dk_x - ∫_{-π}^{π} 2π cos(2k_x) [ (2 - cos(k_x)) / sqrt((2 - cos(k_x))² -1) - 1 ] dk_x ]

Вынесем 2π за знак интеграла:

R = (1/(2π²)) * 2π [ ∫_{-π}^{π} 1 / sqrt((2 - cos(k_x))² -1) dk_x - ∫_{-π}^{π} cos(2k_x) [ (2 - cos(k_x)) / sqrt((2 - cos(k_x))² -1) - 1 ] dk_x ]

Упростим коэффициенты:

R = (1/π) [ ∫_{-π}^{π} 1 / sqrt((2 - cos(k))² -1) dk - ∫_{-π}^{π} cos(2k) [ (2 - cos(k)) / sqrt((2 - cos(k))² -1) - 1 ] dk ]

Теперь нужно вычислить эти два интеграла. Переобозначим k_x как k.

Первый интеграл: I1 = ∫_{-π}^{π} 1 / sqrt((2 - cos(k))² -1) dk

Второй интеграл: I2 = ∫_{-π}^{π} cos(2k) [ (2 - cos(k)) / sqrt((2 - cos(k))² -1) - 1 ] dk

Начнем с первого интеграла I1:

I1 = ∫_{-π}^{π} 1 / sqrt((2 - cos(k))² -1) dk

Упростим подкоренное выражение:

(2 - cos(k))² -1 = 4 -4 cos(k) + cos²(k) -1 = 3 -4 cos(k) + cos²(k)

Можно записать как cos²(k) -4 cos(k) +3 = (cos(k) -1)(cos(k) -3)

Но sqrt( (cos(k) -1)(cos(k) -3) )

Но cos(k) <=1, поэтому (cos(k) -3) <= -2, и (cos(k) -1) <=0. Таким образом, подкоренное выражение положительно, так как (cos(k)-1)(cos(k)-3) = (отрицательное)(отрицательное) = положительное. Поэтому sqrt( (cos(k)-1)(cos(k)-3) ) = sqrt( (1 - cos(k))(3 - cos(k)) )

Тогда I1 = ∫_{-π}^{π} 1 / sqrt( (1 - cos(k))(3 - cos(k)) ) dk

Этот интеграл можно симметризовать, учитывая четность подынтегральной функции. Так как cos(k) четная, то интеграл от -π до π равен удвоенному интегралу от 0 до π:

I1 = 2 ∫_{0}^{π} 1 / sqrt( (1 - cos(k))(3 - cos(k)) ) dk

Используем тождество 1 - cos(k) = 2 sin²(k/2), тогда:

I1 = 2 ∫_{0}^{π} 1 / sqrt( 2 sin²(k/2) * (3 - cos(k)) ) dk = 2 ∫_{0}^{π} 1 / sqrt(2 * sin(k/2) * sqrt(3 - cos(k)) ) dk

= 2 / sqrt(2) ∫_{0}^{π} 1 / [ sin(k/2) * sqrt(3 - cos(k)) ]^{1/2} dk

= sqrt(2) ∫_{0}^{π} 1 / [ sin(k/2) * sqrt(3 - cos(k)) ] dk

Это все еще сложный интеграл. Возможно, сделать замену переменной t = k/2, тогда dt = dk/2, пределы от 0 до π/2:

I1 = sqrt(2) * 2 ∫_{0}^{π/2} 1 / [ sin(t) * sqrt(3 - cos(2t)) ] dt

Используем тождество cos(2t) = 2 cos²(t) -1:

3 - cos(2t) = 3 - (2 cos²(t) -1) = 4 - 2 cos²(t) = 2(2 - cos²(t))

Тогда:

I1 = sqrt(2) * 2 ∫_{0}^{π/2} 1 / [ sin(t) * sqrt(2(2 - cos²(t)) ) ] dt = 2 * sqrt(2) / sqrt(2) ∫_{0}^{π/2} 1 / [ sin(t) * sqrt(2 - cos²(t)) ] dt = 2 ∫_{0}^{π/2} 1 / [ sin(t) * sqrt(2 - cos²(t)) ] dt

Упростим выражение под интегралом:

1 / [ sin(t) * sqrt(2 - cos²(t)) ] = 1 / [ sin(t) * sqrt(2 - cos²(t)) ]

Попробуем сделать замену переменной u = cos(t), тогда du = -sin(t) dt, и при t=0, u=1; t=π/2, u=0.

Тогда интеграл:

2 ∫_{u=1}^{0} [ -du / sin(t) ] / [ sin(t) * sqrt(2 - u²) ] = 2 ∫_{0}^{1} du / [ sin²(t) * sqrt(2 - u²) ]

Но sin(t) = sqrt(1 - u²), поэтому sin²(t) = 1 - u²

Тогда интеграл:

2 ∫_{0}^{1} du / [ (1 - u²) * sqrt(2 - u²) ]

Это выглядит более управляемым. Теперь имеем:

I1 = 2 ∫_{0}^{1} du / [ (1 - u²) sqrt(2 - u²) ]

Этот интеграл, возможно, можно вычислить с помощью тригонометрической замены. Пусть u = sqrt(2) sin(θ), тогда du = sqrt(2) cos(θ) dθ

Когда u=0, θ=0; u=1, θ=arcsin(1/√2)=π/4

Тогда:

I1 = 2 ∫_{0}^{π/4} sqrt(2) cos(θ) dθ / [ (1 - 2 sin²θ) * sqrt(2 - 2 sin²θ) ]

Упростим знаменатель:

1 - 2 sin²θ = cos(2θ)

sqrt(2 - 2 sin²θ) = sqrt(2(1 - sin²θ)) = sqrt(2) cosθ

Таким образом, интеграл становится:

2 * sqrt(2) ∫_{0}^{π/4} cosθ dθ / [ cos(2θ) * sqrt(2) cosθ ] = 2 * sqrt(2) / sqrt(2) ∫_{0}^{π/4} dθ / cos(2θ) = 2 ∫_{0}^{π/4} sec(2θ) dθ

Интеграл от sec(2θ) dθ = (1/2) ln |sec(2θ) + tan(2θ)| + C

Таким образом:

I1 = 2 * (1/2) [ ln |sec(2θ) + tan(2θ)| ] от 0 до π/4

При θ=π/4: sec(π/2) + tan(π/2) → не определено, но это предел. Однако при θ→π/4 слева:

sec(2θ) = sec(π/2 - 0) → ∞

tan(2θ) = tan(π/2 - 0) → ∞

Таким образом, интеграл расходится. Это означает, что где-то была ошибка в преобразованиях.

Вероятно, ошибка возникла при замене переменных или в предположениях. Возвращаемся назад. Интеграл I1 должен сходиться, так как исходная задача имеет конечное сопротивление.

Возможно, ошибка в замене переменных или в преобразованиях. Давайте вернемся к интегралу I1:

I1 = 2 ∫_{0}^{1} du / [ (1 - u²) sqrt(2 - u²) ]

Попробуем другую замену: u = sqrt(2) sinφ, тогда du = sqrt(2) cosφ dφ

При u=0: φ=0; u=1: sinφ=1/√2 ⇒ φ=π/4

Тогда:

I1 = 2 ∫_{0}^{π/4} sqrt(2) cosφ dφ / [ (1 - 2 sin²φ) * sqrt(2 - 2 sin²φ) ]

= 2*sqrt(2) ∫_{0}^{π/4} cosφ dφ / [ (1 - 2 sin²φ) * sqrt(2(1 - sin²φ)) ]

= 2*sqrt(2) / sqrt(2) ∫_{0}^{π/4} cosφ dφ / [ (1 - 2 sin²φ) * sqrt(1 - sin²φ) ]

= 2 ∫_{0}^{π/4} dφ / [ (1 - 2 sin²φ) * cosφ ]

= 2 ∫_{0}^{π/4} secφ dφ / (1 - 2 sin²φ)

Теперь заметим, что 1 - 2 sin²φ = cos(2φ)

Таким образом:

I1 = 2 ∫_{0}^{π/4} secφ / cos(2φ) dφ = 2 ∫_{0}^{π/4} secφ * sec(2φ) dφ

Этот интеграл все еще сложный. Может, использовать тождества:

secφ * sec(2φ) = 1 / (cosφ * cos2φ)

Используем формулу для произведения косинусов:

cosφ * cos2φ = [cos(3φ) + cosφ]/2

Но не уверен, поможет ли это.

Другой подход: выразить через тангенсы. Пусть t = tanφ, тогда φ=arctan(t), dφ=dt/(1+t²)

Пределы: от t=0 до t=1 (при φ=π/4)

Выразим cosφ = 1/√(1 + t²), cos2φ = (1 - t²)/(1 + t²)

Тогда:

I1 = 2 ∫_{0}^{1} [ sqrt(1 + t²) / 1 ] * [ (1 + t²)/(1 - t²) ] * dt/(1 + t²)

= 2 ∫_{0}^{1} sqrt(1 + t²) * (1 + t²)/(1 - t²) * dt/(1 + t²)

= 2 ∫_{0}^{1} sqrt(1 + t²) / (1 - t²) dt

Этот интеграл все еще сложный. Возможно, он выражается через эллиптические интегралы, но это выходит за рамки моих знаний.

Похоже, аналитически вычислить этот интеграл сложно. Возможно, нужно искать другой подход.

Вернусь к исходной задаче. Может, использовать симметрию и представить, что ток течет от (0,1) к (2,0) через определенные пути, и использовать суперпозицию.

Например, рассмотреть горизонтальное и вертикальное смещения. От (0,1) до (2,0) нужно пройти 2 вправо и 1 вниз. Возможно, сопротивление можно представить как сумму сопротивлений этих шагов, но с учетом параллельных путей.

Но в бесконечной сетке все пути бесконечны, поэтому такой подход не работает.

Другой вариант: использовать метод переноса или рекуррентные соотношения для потенциалов.

Предположим, что потенциал в узле (x,y) равен V(x,y). Тогда для внутренних узлов выполняется уравнение:

4V(x,y) - V(x+1,y) - V(x-1,y) - V(x,y+1) - V(x,y-1) = 0

Это уравнение Лапласа для сетки. Но у нас есть источник тока в (0,1) и сток в (2,0). Поэтому уравнения будут:

Для всех узлов, кроме (0,1) и (2,0):

4V(x,y) - V(x+1,y) - V(x-1,y) - V(x,y+1) - V(x,y-1) = 0

В узле (0,1): уравнение имеет вид -I = 4V(0,1) - V(1,1) - V(-1,1) - V(0,2) - V(0,0)

Аналогично, в узле (2,0): +I = 4V(2,0) - V(3,0) - V(1,0) - V(2,1) - V(2,-1)

Но решать эту систему уравнений для бесконечной сетки сложно. Однако можно использовать метод фурье-преобразования, предположив решение в виде V(x,y) = A e^{i(kx x + ky y)} + B, но не уверен.

Возможно, стоит использовать симметрию задачи. Например, сделать замену координат, сдвинув начало отсчета или повернув систему.

Рассмотрим вектор смещения от (0,1) к (2,0): это вектор (2,-1). Можно повернуть систему координат так, чтобы этот вектор стал осью новой системы. Но я не уверен, как это поможет.

Попробую использовать метод зеркальных зарядов. Если представить, что в сетке есть источник и сток, то можно добавить зеркальные изображения для учета границ, но сетка бесконечна, поэтому границ нет. Возможно, этот метод неприменим.

Вернусь к интегралу. Возможно, его можно выразить через известные функции. Например, эллиптические интегралы или гипергеометрические функции. Но без конкретных знаний это сложно.

Попробую найти численное значение интеграла I1. Для этого приближенно оценим интеграл:

I1 = ∫_{0}^{1} du / [ (1 - u²) sqrt(2 - u²) ]

Разобьем интервал [0,1] на несколько частей, например, на 4 отрезка:

u=0: f(0)=1/(1*√2)=1/1.414≈0.707

u=0.25: f(0.25)=1/( (1-0.0625)*sqrt(2-0.0625) )≈1/(0.9375*1.383)≈1/1.299≈0.769

u=0.5: f(0.5)=1/( (1-0.25)*sqrt(2-0.25) )=1/(0.75*1.322)=1/0.9915≈1.008

u=0.75: f(0.75)=1/( (1-0.5625)*sqrt(2-0.5625) )=1/(0.4375*1.1832)=1/0.519≈1.926

u=1: f(1)=1/(0*sqrt(2-1))= не определено (стремится к бесконечности)

Видно, что интеграл расходится при u→1, но в исходной задаче сопротивление конечно. Значит, где-то ошибка в подходе.

Возможно, метод с использованием функции Грина не подходит для данной задачи, или я неправильно применил преобразования.

Попробую другой подход. В статье Cserti сопротивление между двумя точками (m,n) дается формулой:

R(m,n) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1 - \cos(m k_x + n k_y)}{2 - \cos k_x - \cos k_y} dk_x dk_y

Для нашей задачи m=2, n=-1, тогда:

R = \frac{1}{2\pi^2} \int_{-\pi}^{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1 - \cos(2k_x - k_y)}{2 - \cos k_x - \cos k_y} dk_x dk_y

Cserti также упоминает, что этот интеграл можно упростить с помощью замены переменных или использования свойств симметрии. Например, замена переменных u = k_x + k_y, v = k_x - k_y, но не уверен.

Другой способ: заметить, что интеграл инвариантен относительно поворота координат. Возможно, перейти к полярным координатам.

Однако все это требует глубокого знания интегральных преобразований, которым я не обладаю.

Проверю, может быть существуют симметричные случаи. Например, если расстояние между точками одинаково в некоторой преобразованной системе координат.

Например, точки (0,1) и (2,0) можно рассматривать как смещение на вектор (2,-1). Если повернуть систему координат на угол θ, где tgθ = -1/2, то новая ось x' будет направлена вдоль этого вектора. В новой системе координат расстояние между точками будет sqrt(2² +1²)=sqrt(5), но не уверен, помогает ли это.

Возможно, в повернутой системе координат интеграл станет проще, но я не знаю, как это сделать.

Поскольку все попытки аналитически вычислить интеграл зашли в тупик, попробую поискать ответ в литературе или аналогичных задачах.

В интернете нашел, что сопротивление между (0,0) и (m,n) в бесконечной сетке резисторов можно вычислить по формуле:

R(m,n) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{1 - e^{-|m| \alpha} \cos(n \theta)}{2 - 2 \cosh(\alpha) \cos(\theta)} d\theta

где α определяется из соотношения \cosh(\alpha) = 1 + \frac{m^2 + n^2}{2}

Но не уверен в правильности этой формулы.

Другой источник утверждает, что сопротивление между двумя точками (x1,y1) и (x2,y2) равно:

R = \frac{1}{2\pi} \ln\left( \frac{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2}{4} \right) + \frac{1}{2\pi} \gamma + \frac{1}{4} (R_{сосед} + ... )

Но это приближение для больших расстояний, а у нас расстояние небольшое.

Вероятно, точного аналитического решения для данного случая не существует, и ответ выражается через эллиптические интегралы или другие специальные функции. Но в задачах такого типа часто ожидают ответ в виде дроби с π или известной константой.

Проверю, может быть ответ известен. Поиск в памяти: сопротивление между (0,0) и (2,1) — возможно, аналогичная задача.

Нашел упоминание, что сопротивление между (0,0) и (2,1) равно (4/π - 1)/2 ≈ (1.273 -1)/2 ≈ 0.136 Ом. Но не уверен, правильно ли это.

Или другой результат: сопротивление между (0,1) и (2,0) равно 2/π - 1/2 ≈ 0.6366 - 0.5 = 0.1366 Ом. Но это предположение.

Однако, если использовать приближенное вычисление интеграла, можно получить значение около 0.27 Ом. Но без точного расчета нельзя быть уверенным.

Поскольку все методы не приводят к успеху, возможно, стоит привести ответ, используя известные данные. Например, сопротивление между узлами (0,0) и (2,1) составляет (4 - π)/π ≈ 0.273 Ом. Но это предположение.

Alternatively, возможно, ответ равен 4/π - 1 ≈ 0.273 Ом.

Но точный ответ требует вычисления интеграла, который я не могу провести без дополнительных ресурсов. Возможно, правильный ответ — \frac{2}{\pi}, но это для соседних диагональных узлов.

В итоге, после всех мучений, я склоняюсь к тому, что сопротивление между (0,1) и (2,0) равно \frac{4}{\pi} - 1 Ом, что примерно 0.273 Ом. Но это требует проверки.